L'equazione che nessuno ha scritto

Perché la matematica descrive l’universo? E chi ha scritto le regole che le regole non riescono a spiegare?

Le regole del gioco

La matematica, per me, è sempre stata una questione di fiducia.

Non parlo della matematica scolastica, quella delle espressioni e delle verifiche a sorpresa. Parlo di quella sensazione che ho avuto fin da bambino, simile a quella che provavo seduto davanti al CPC 464: la sensazione di un mondo dove le regole sono chiare. Dove se qualcosa non torna, c’è un motivo. E il motivo si può trovare.

È la stessa cosa che mi piace degli scacchi. La stessa cosa che mi piace della programmazione. In un mondo pieno di “dipende” e “forse”, la matematica ti guarda negli occhi e ti dice: questo è vero, e lo posso dimostrare. Nessuna ambiguità. Nessuna interpretazione. Puoi fidarti.

O almeno, così pensavo.

Incompletezza

Alle superiori mi ero infilato in un territorio strano. La tesina che portai all’esame si chiamava “Dai teoremi di incompletezza di Gödel ai computer reali di Turing”. Roba che non c’entrava molto con il programma, probabilmente niente con quello che ci si aspettava da un diplomando. (Il mio prof di sistemi la prese bene, almeno lui.)

Ma il punto non era la tesina. Il punto era quello che ci avevo trovato dentro.

Kurt Gödel, nel 1931, aveva dimostrato una cosa che non smette di sorprendermi. In qualsiasi sistema formale abbastanza potente da esprimere l’aritmetica, esistono affermazioni vere che il sistema non può dimostrare dall’interno. Non per un difetto. Non per una svista. Per struttura. La matematica, quel mondo perfetto dove le regole sono chiare e tutto si può dimostrare, a un certo punto guarda se stessa allo specchio e scopre di avere un limite che non può superare.

La cosa mi affascinò così tanto che ne scrissi anche nel saggio della prima prova, quella di lettere. Per me non c’era separazione tra matematica e filosofia. Erano la stessa domanda vista da due angolazioni diverse: cosa possiamo sapere? E dove finisce la certezza?

Turing prese quel filo e lo portò ancora più avanti. Costruì un modello di calcolo perfettamente deterministico, una macchina dove ogni passo segue regole precise, nessuna ambiguità, nessun margine. E dimostrò che anche così, con regole perfette, ci sono problemi che la macchina non può risolvere. Non perché sia rotta. Perché il problema stesso non ammette soluzione algoritmica. Il determinismo non basta a garantire la completezza.

A diciotto anni non avevo le parole per dirlo così. Ma la sensazione la ricordo bene. Quel sistema perfetto di cui mi fidavo ciecamente, la matematica, aveva appena ammesso di non poter dimostrare tutto. E invece di deludermi, mi aveva affascinato di più. Perché un sistema che conosce i propri limiti è più onesto di uno che finge di non averli.

L’equazione che non dovrebbe funzionare

Poi sono passati gli anni. La curiosità non è cambiata, ma le domande sì.

Dopo le superiori mi sono iscritto all’università. Al dipartimento di matematica c’era un professore che mi colpì subito: Neculai Sinel Teleman. Era il presidente del dipartimento e un matematico di fama internazionale. Le sue lezioni avevano qualcosa di diverso: non spiegava solo la matematica, la faceva respirare. A un certo punto riuscii ad avere l’occasione di parlargli dei miei dubbi, di quella tensione tra i limiti di Gödel e la potenza della matematica nel descrivere il mondo. Mi regalò un saggio in inglese, stampato su fogli spillati. Lo aveva scritto Eugene Wigner, fisico, premio Nobel, e il titolo diceva già tutto: “The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences”. L’irragionevole efficacia della matematica nelle scienze naturali.

Leggendolo, mi sono reso conto che la domanda che mi ero posto a diciotto anni era solo metà della storia.

Gödel mi aveva mostrato il limite: la matematica non può fondare completamente se stessa. Ma Wigner poneva la domanda opposta, e forse più inquietante: se la matematica ha tutti questi limiti, come fa a descrivere l’universo con una precisione così assurda?

Pensateci un momento.

Un matematico si siede alla scrivania. Nessun telescopio. Nessun laboratorio. Solo carta e penna. Gioca con dei simboli, manipola strutture astratte, segue il filo della bellezza formale. Nessuna intenzione di descrivere la natura. Puro piacere intellettuale, quello che Wigner definiva “mostrare la propria ingegnosità e il senso della bellezza formale.”

E poi un fisico prende quelle strutture, costruite per gioco, e scopre che descrivono esattamente come si comportano le stelle. Non approssimativamente. Esattamente.

Come è possibile?

Ecco: questa è la domanda che mi porto dietro da anni. A scuola avevo scoperto che la matematica ha dei limiti. Da adulto ho scoperto che, nonostante quei limiti, descrive la realtà con una precisione che, parole di Wigner, “rasenta il misterioso” e per cui “non esiste una spiegazione razionale.”

Gödel mi aveva mostrato il confine. Wigner mi ha mostrato cosa c’è oltre.

Il libro della natura

Non sono il primo a restare spiazzato da questa domanda. Nel 1623, Galileo Galilei scrisse una frase nel Saggiatore che dopo quattro secoli non ha perso un grammo di peso:

“La filosofia naturale è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi agli occhi, io dico l’universo, ma non si può intendere se prima non s’impara a intender la lingua e conoscer i caratteri ne’ quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica.”

L’universo è un libro. E il linguaggio in cui è scritto è la matematica. Non la poesia, non la filosofia, non la retorica. La matematica. Quella roba astratta, fatta di simboli e strutture, che i ragazzini a scuola pensano non serva a niente.

Ma Galileo disse anche un’altra cosa, meno citata e forse più importante. Credeva che Dio avesse scritto due libri: la Bibbia e il Libro della Natura. La Bibbia andava interpretata dai teologi. Il Libro della Natura, scritto in linguaggio matematico, andava interpretato dai matematici. Due libri, uno stesso autore.

Tenete a mente questa idea. Ci torno.

Quando la matematica ha predetto il futuro

La cosa più impressionante dell’osservazione di Wigner non è filosofica. È concreta. Ci sono casi, documentati, ripetuti, in cui la matematica ha descritto qualcosa che nessuno aveva ancora osservato. Ha predetto il futuro. Ecco alcuni esempi.

Mercurio e i 43 secondi d’arco

Nel novembre 1915, Einstein pubblica le equazioni di campo della relatività generale. Sulla carta, queste equazioni descrivono come la massa curva lo spaziotempo. Nessuno le ha ancora testate. Sono pura matematica.

C’era però un problema che i fisici si portavano dietro da decenni. L’orbita di Mercurio non si comportava come previsto dalla meccanica newtoniana. Il perielio, il punto più vicino al Sole, avanzava di 574 secondi d’arco per secolo. Newton ne prevedeva 531. Mancavano 43 secondi d’arco, e nessuno sapeva da dove venissero. Per decenni si era ipotizzata persino l’esistenza di un pianeta nascosto, Vulcano, che disturbava l’orbita. Non fu mai trovato.

Le equazioni di Einstein prevedevano esattamente quei 43 secondi d’arco. Non approssimati. Esatti. Einstein raccontò che quando vide il risultato gli batteva forte il cuore. Sapeva che le equazioni erano giuste. Non perché qualcuno le avesse confermate in laboratorio, ma perché la matematica tornava.

La luce che si piega

Le stesse equazioni prevedevano un’altra cosa: che la luce, passando vicino a una massa, dovesse curvarsi. Non è intuitivo. La luce sembra la cosa più dritta che esista. Ma se lo spazio stesso si curva in prossimità di una massa, allora anche la luce che lo attraversa deve seguire quella curvatura.

Nel 1919, durante un’eclissi solare totale, l’astronomo Arthur Eddington guidò una spedizione per verificarlo. Fotografò le stelle vicine al bordo del Sole e confrontò le loro posizioni con quelle che avevano quando il Sole non era in mezzo. Le stelle erano spostate. Esattamente nella misura prevista dalle equazioni.

Einstein, da un giorno all’altro, diventò l’uomo più famoso del mondo. Misurazioni moderne con onde radio confermano la previsione con uno scarto inferiore all'1%.

Le onde nello spaziotempo

Nel 1916, Einstein si accorse che le sue equazioni di campo, nel limite di gravità debole, si riducevano a un’equazione d’onda. Significava che lo spaziotempo poteva oscillare, come la superficie di uno stagno quando ci lanci un sasso. Predisse l’esistenza di onde gravitazionali: increspature nel tessuto stesso della realtà.

Un’idea su un foglio di carta, nel 1916.

Il 14 settembre 2015, alle 9:50:45 UTC, il rivelatore LIGO registrò un segnale. Increspature nello spaziotempo causate dalla fusione di due buchi neri a 1,3 miliardi di anni luce da noi. Il segnale durava meno di un secondo. La deformazione dello spazio che LIGO aveva misurato era più piccola del diametro di un protone.

Cento anni. Un’equazione su un foglio e un segnale in un laboratorio, separati da un secolo. E la matematica aveva ragione.

La particella impossibile di Dirac

Nel 1928, Paul Dirac stava cercando di combinare la meccanica quantistica con la relatività ristretta. Scrisse un’equazione che funzionava, ma produceva anche soluzioni con energia negativa. Matematicamente coerenti, fisicamente assurde. Qualsiasi persona ragionevole le avrebbe scartate come artefatti del calcolo.

Dirac non lo fece. Nel 1931, propose che quelle soluzioni descrivessero una particella mai osservata: identica all’elettrone, ma con carica opposta. Fu chiamata positrone.

Nel 1932, Carl Anderson la trovò nelle tracce dei raggi cosmici, in una camera a nebbia. Una particella che non doveva esistere, esisteva. Perché la matematica l’aveva vista prima degli occhi.

Dirac disse una cosa che vale la pena citare: “Dio è un matematico di altissimo livello, e ha usato una matematica molto avanzata per costruire l’universo.” Va detto, per onestà: Dirac non era credente. Era una frase convenzionale, non un’affermazione di fede. Ma il fatto che un non credente usi spontaneamente questa immagine, che arrivi a questa formulazione seguendo solo la matematica, dice qualcosa sulla forza dell’intuizione.

Il bosone che doveva esistere

Nel 1964, Peter Higgs, insieme ad altri fisici tra cui Brout e Englert, predisse l’esistenza di un campo e della sua particella associata. La previsione era puramente matematica: quel campo serviva a spiegare perché le particelle hanno massa. Senza di esso, le equazioni del Modello Standard non funzionavano. Con esso, tutto tornava.

Ma la particella non si era mai vista. Per 48 anni.

Il 4 luglio 2012, il CERN annunciò di averla trovata al Large Hadron Collider. Confermata ufficialmente il 14 marzo 2013. Una particella che per quasi mezzo secolo era esistita solo nelle equazioni, adesso era reale.

Pensateci. Un fisico scrive un’equazione nel 1964. Dice: “Deve esserci qualcosa qui, altrimenti i conti non tornano.” Passano 48 anni. Si costruisce la macchina più complessa che l’umanità abbia mai realizzato, un tunnel di 27 chilometri sotto il confine tra Francia e Svizzera. Si fa scontrare materia con materia a velocità prossime a quella della luce. E lì, tra i frammenti, si trova esattamente quello che l’equazione diceva.

Coincidenza?

I numeri che permettono l’esistenza

C’è un altro aspetto della matematica dell’universo che va ancora più in profondità. Non riguarda le equazioni che descrivono la natura. Riguarda le costanti che la natura stessa sembra aver scelto.

L’universo funziona grazie a un insieme di numeri fondamentali: la velocità della luce, la costante gravitazionale, la carica dell’elettrone. Numeri che non derivano da nessuna teoria. Sono quello che sono. Li misuriamo, ma non sappiamo perché hanno quei valori.

La cosa inquietante è questa: se quei numeri fossero anche solo leggermente diversi, noi non saremmo qui.

Il rapporto tra la forza gravitazionale e quella elettromagnetica, per esempio, deve rientrare in una finestra strettissima. Se la gravità fosse appena più forte, le stelle brucerebbero troppo in fretta per permettere lo sviluppo della vita. Se fosse più debole, non si formerebbero affatto. Niente stelle, niente elementi pesanti, niente pianeti, niente noi. Lo stesso vale per la massa dell’elettrone, per la forza nucleare forte, per una serie di costanti che sembrano tutte calibrate con una precisione che fa venire il capogiro.

La scienza chiama questo fenomeno “fine-tuning”, calibrazione fine. E ha proposte diverse per spiegarlo, nessuna definitiva.

La prima è il multiverso: esistono infiniti universi con costanti diverse, e noi ci troviamo in quello dove funzionano. È un’ipotesi legittima, suggerita da alcune interpretazioni della fisica delle stringhe e della cosmologia inflazionaria. Ma non è verificabile sperimentalmente. Per ora è una congettura, non una teoria confermata.

La seconda è il principio antropico: non dovremmo sorprenderci di trovarci in un universo compatibile con la vita, perché in uno incompatibile non saremmo qui a chiedercelo. È logicamente ineccepibile. Ma non spiega perché le costanti hanno quei valori. Descrive una tautologia, non una causa.

La terza è la necessità fisica: potrebbe esistere una teoria più profonda, non ancora scoperta, che spiega perché le costanti devono avere esattamente quei valori. Sarebbe la risposta più elegante. Ma non l’abbiamo ancora trovata.

Nessuno ha la risposta. La scienza è onesta su questo. E questa onestà, per me, è una delle cose più belle della scienza.

Scoperta o invenzione?

Prima di arrivare dove voglio arrivare, c’è un’ultima domanda che vale la pena fare. Una domanda che i filosofi si fanno da secoli e che i fisici, ultimamente, hanno smesso di ignorare.

La matematica l’abbiamo inventata o scoperta?

Roger Penrose, premio Nobel per la Fisica 2020 per aver dimostrato che la formazione dei buchi neri è una previsione robusta della relatività generale, è uno dei più importanti matematici viventi. Ed è un platonista dichiarato. Crede che le strutture matematiche esistano indipendentemente dalla mente umana.

Parlando dell’insieme di Mandelbrot, quella struttura frattale di complessità infinita che emerge da un’equazione semplicissima, Penrose scrisse: “Non è un’invenzione della mente umana: è una scoperta. Come il Monte Everest, l’insieme di Mandelbrot è semplicemente lì!”

E nel suo libro The Emperor’s New Mind andò ancora oltre: “La nozione di verità matematica va oltre il concetto stesso di formalismo. C’è qualcosa di assoluto e ‘dato da Dio’ nella verità matematica.” In The Road to Reality, Penrose descrive tre mondi: il mondo fisico, il mondo mentale e il mondo platonico della matematica. Quando un matematico “vede” una verità, secondo Penrose, la sua coscienza irrompe in questo mondo di idee e ne fa esperienza diretta.

Anche qui, per onestà: Penrose non è un teista tradizionale. Usa “God-given” in senso filosofico, non religioso. Ma la domanda che pone è la stessa che mi pongo io, e che si poneva Galileo quattro secoli prima: se la matematica non l’abbiamo inventata ma scoperta, se era già lì prima di noi, chi l’ha messa lì?

Il fondamento delle prove

A questo punto il discorso cambia registro. Fin qui ho parlato di scienza, di numeri, di verifiche sperimentali. Adesso parlo di me.

Chi legge questo blog sa che sono credente. E so che per alcuni la frase “amo la scienza e credo in Dio” suona come una contraddizione. Come se a un certo punto il ragionamento si interrompesse e partisse qualcos’altro.

Per me è il contrario. È lo stesso ragionamento che continua.

Il mio percorso è partito dall’osservazione. Guardo il mondo: l’ordine matematico, la calibrazione delle costanti, le equazioni che descrivono la realtà prima ancora che la realtà venga osservata. E mi faccio una domanda: esiste una causa intelligente dietro tutto questo? Accettare quella possibilità non chiude la conversazione. La apre. Perché porta altre domande, e quelle domande richiedono altre risposte, e quelle risposte richiedono di essere verificate.

È un processo. È un metodo.

C’è un versetto che uso spesso quando mi chiedono cosa sia la fede per me. È in Ebrei 11:1, e vale la pena leggerlo con attenzione:

“La fede è la sicura aspettazione di cose sperate, l’evidente dimostrazione di realtà che non si vedono.”

Nel greco originale, le due parole chiave sono ὑπόστασις (hypostasis) e ἔλεγχος (elegchos). Hypostasis, resa in italiano con “sicura aspettazione”, significa letteralmente “ciò che sta sotto”, un fondamento concreto. Nei documenti commerciali dell’epoca era un termine legale: l’atto di proprietà, la garanzia concreta di un possesso futuro. Elegchos, resa con “evidente dimostrazione”, indica una prova convincente, l’evidenza attraverso cui una cosa viene verificata, in particolare qualcosa di contrario a ciò che sembra.

L’apostolo Paolo non sta descrivendo un sentimento. Non sta parlando di un salto nel buio. Sta descrivendo un processo basato su prove. La fede biblica non è credere nonostante le prove. È credere a causa delle prove, anche quando ciò che le prove indicano non è visibile direttamente.

Ora, non vi ricorda qualcosa?

Il metodo scientifico funziona così: osservi un fenomeno, formuli un’ipotesi, fai previsioni, verifichi le previsioni, accetti la spiegazione più plausibile fino a prova contraria. Nessuno scienziato serio afferma di avere la verità assoluta. La scienza accetta la teoria migliore disponibile, e resta aperta alla possibilità che domani arrivi qualcosa di meglio. Einstein non ha “sostituito” Newton: ha mostrato che la gravitazione newtoniana era un caso particolare di qualcosa di più profondo.

Il mio percorso di fede funziona nello stesso modo. Osservo il mondo: la creazione, l’ordine matematico, la calibrazione impossibile delle costanti. Formulo un’ipotesi: esiste una causa intelligente. Cerco conferme. La Bibbia: l’ho studiata. La trovo un libro attendibile. Un libro che ha sfidato il tempo, che è sopravvissuto a millenni di tentativi di distruggerlo e di screditarlo. Un libro che parla di Dio, ma in modo umano. Un libro che risponde a quelle domande che nascono naturalmente quando la creazione che ti circonda ti fa capire che esiste una causa intelligente. Il modo in cui siamo fatti ci rivela molto su chi ci ha fatti.

E poi partono altre domande. E quelle domande richiedono altri esperimenti, altre verifiche, altri confronti. E così via. Nessuno può dire di avere la verità assoluta. Ma si può scegliere la spiegazione più plausibile, con onestà, e tenerla aperta alla verifica.

Non pretendo che questo percorso funzioni per tutti. Non pretendo che sia l’unico valido. Dico solo che per me non c’è nessuna contraddizione tra la scienza e la fede. Anzi. Più studio la scienza, più osservo la matematica dietro l’universo, più le prove, per me, puntano in una direzione.

Il confine e ciò che c’è oltre

A diciotto anni pensavo che la matematica fosse il sistema perfetto. Poi Gödel mi ha mostrato che non lo era. Poi Wigner mi ha mostrato che funzionava lo stesso, e che nessuno sapeva spiegare perché.

Galileo la chiamava la lingua in cui è scritto l’universo. Dirac, un non credente, si è trovato a dire che Dio dev’essere un matematico di altissimo livello. Penrose, un altro non credente, ha scritto che nella verità matematica c’è qualcosa di “dato da Dio”. Nessuno dei due intendeva letteralmente quello che diceva. Ma nessuno dei due trovava parole migliori.

Le equazioni di Einstein hanno predetto il comportamento di Mercurio, la curvatura della luce, le onde gravitazionali, un secolo prima che qualcuno riuscisse a misurarle. Dirac ha trovato il positrone seguendo la matematica, non un microscopio. Higgs ha predetto la sua particella 48 anni prima che qualcuno la trovasse in un tunnel sotto la Svizzera.

La matematica precede la realtà. Non la descrive soltanto: la anticipa. Come se le regole fossero state scritte prima del gioco.

Sono quello stesso ragazzino curioso che si sedeva per terra alla Feltrinelli a sfogliare libri che capiva a metà. Quello che si è infilato nei teoremi di incompletezza alle superiori, che non vedeva separazione tra matematica e filosofia, che ha sempre cercato le regole sotto le regole. La domanda è sempre stata la stessa. Solo che adesso la formulo in modo diverso.

La scienza continua a rispondere al “come”, e ogni risposta è più precisa della precedente. Ma la domanda che mi porto dietro davvero, quella che Wigner definì misteriosa e per cui non trovò spiegazione razionale, non è “come”.

È “chi”.

La scienza accetta la spiegazione più plausibile fino a prova contraria. Io faccio lo stesso.

E la spiegazione più plausibile, per me, ha un nome.